В Красной Армии с 1926 года. Окончил военное пехотное училище. Член ВКП(б) с 1932 года. Участник советско-финляндской войны 1939-40 годов.149-й отдельный разведывательный батальон (113-я стрелковая дивизия, 7-я армия, Северо-Западный фронт) под командованием капитана Максима Рапейко в конце января 1940 года занял важную высоту в районе железнодорожной станции «Юханнес» (ныне Советский Выборгского района Ленинградской области) и нанёс противнику значительный урон в живой силе и боевой технике. Группа бойцов во главе с комбатом Рапейко М.О. выбила врага со станции.

В бою за остров Ласи-саари (ныне остров Стеклянный, расположенный рядом с островом Туркин-саари, ныне — Овчинный) 25 февраля 1940 года отважный офицер-разведчик пал смертью храбрых. Похоронен на месте боёв.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 марта 1940 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с финской белогвардейщиной и проявленные при этом отвагу и геройство» капитану Рапейко Максиму Осиповичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Награждён орденом Ленина.